ステップ関数とは?

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ステップ関数とは、数学や信号処理などで使われる関数の一種で、値がある特定の点で突然変化するような関数のことを指します。ステップ関数は、ある範囲では一定の値を取り、別の範囲に移ると値が変わるという特徴を持っています。このような関数は、階段のような形状をしているため「ステップ(階段)」関数と呼ばれます。

## よく知られているステップ関数の例

1. **単位ステップ関数 (Heaviside ステップ関数)**
単位ステップ関数は、以下のように定義される最も基本的なステップ関数です:
\[
u(t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \\
1, & t \geq 0
\end{cases}
\]
この関数は、時刻 \(t = 0\) を境に値が \(0\) から \(1\) に変化します。

2. **階段状のステップ関数**
ステップ関数は、特定の点で値が段階的に変化するもの全般を指すため、単位ステップ関数以外にも、複数のステップ(階段)を持つ関数も含まれます。例えば:
\[
f(x) =
\begin{cases}
1, & 0 \leq x < 1 \\
2, & 1 \leq x < 2 \\
3, & 2 \leq x < 3
\end{cases}
\]

## ステップ関数の用途

ステップ関数は、以下のような分野で広く利用されています:

1. **信号処理**
ステップ関数は、信号が「オン」または「オフ」になるタイミングを表現するのに使われます。

2. **制御工学**
システムの応答を評価するために、ステップ入力(単位ステップ関数)を使ってシステムの動作を分析します。

3. **数学・物理学**
ステップ関数は、数学的モデルや物理現象のモデリングにおいて、急激な変化を表現するために利用されます。

4. **統計学**
ステップ関数は、累積分布関数(CDF)やヒストグラムの表現などにも使われます。

ステップ関数は、シンプルながらも多くの分野で重要な役割を果たす基本的な関数です。

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